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Gefrieren von Wasser berechnen: Wie schnell wächst eine Eisschicht?

Hinweis: Auf dieser Seite hatte sich ein Fehler eingeschlichen, der dank eines freundlichen Hinweises nun behoben worden ist. Die vor dem 21.07.2009 19:00 Uhr aufgeführte Gleichung
t = 1 / a / DeltaT * (b * (xE2 - xE1) + 1/2 * (xE2 - xE1)^2)
ist falsch, richtig lautet sie:
t = 1 / a / DeltaT * (b * (xE2 - xE1) + 1/2 * (xE2^2 - xE1^2)).
Ich bitte vielmals um Nachsicht und danke sehr für den Hinweis.

Noch eine Korrektur am 02.11.2010: Die Einheit für den Alpha-Wert ist J/m^2/K (oder J/(m^2*K)), nicht J/m^2. Auch für diesen Hinweis herzlichen Dank!

Die Wachstumsgeschwindigkeit einer Eisschicht wird nicht, wie häufig angenommen, durch die Anzahl vorhandener Kristallisationskeime bestimmt, sondern durch den Wärmetransport aus dem Wasser durch die Eisschicht hindurch in die Umgebungsluft hinein. Dabei spielt je nach Gegebenheiten auch der Wärmeaustausch des Eises mit seiner Umgebung durch Wärmestrahlung eine mehr oder weniger große Rolle.

Zur Generierung eines Grundansatzes wird die Zunahme der Dicke der Eisschicht xE über der Zeit t als Produkt einer geeigneten Auswahl von Differentialquotienten ausgedrückt, deren Lösungen leicht verfügbar sind und von denen mindestens einer einen Wärmestrom beschreibt:

dxE/dt = dQ/dt * dxE/dQ = dQ/dt * dmE/dQ * dxE/dmE

Mit

dQ/dt = A * DeltaT / (1 / Alpha + xE / LambdaE)

dmE/dQ = 1 / DeltaHSm

dxE/dmE = 1 / RhoE / A

und Zusammenfassung der Ausdrücke

a = LambdaE / DeltaHSm / RhoE

b = LambdaE / Alpha

folgt

dxE/dt = a * DeltaT / (b + xE)

und daraus nach Umformen der Gleichung

dt = 1 / a / DeltaT * (b + xE) dxE

und nach Integration

t = 1 / a / DeltaT * (b * xE + 1/2 * xE^2)

Diese Gleichung beschreibt die für die Bildung einer Eisschicht der Dicke xE vom Beginn der Eisbildung an notwendige Zeit t. Zur Berechnung der Zeitspanne, die vergeht, bis die Dicke einer Eisschicht von xE1 auf xE2 zugenommen hat, ist folgende Beziehung zu verwenden:

t = 1 / a / DeltaT * (b * (xE2 - xE1) + 1/2 * (xE2^2 - xE1^2))


Verwendete Formelzeichen:

xE: Dicke der Eisschicht
t: Zeit
mE: Masse der Eisschicht
Q: übertragene Wärmemenge
A: Fläche des Eises
DeltaT: Temperaturdifferenz zwischen Luft und dem Wasser unter der Eisdecke
RhoE: Dichte des Eises = 918 kg/m^3
LambdaE: Wärmeleitfähigkeitskoeffizient des Eises = 2,2 W/m/K
Alpha: Wärmeübergangskoeffizient Luft/Eisfläche
DeltaHSm: spezifische Schmelzenthalpie des Wassers = 333000 J/kg
a, b: Kombination mehrerer Konstanten zu einer einzigen Konstante

Der Wärmeübergangskoeffizient Alpha ist von verschiedenen Einflüssen abhängig und kann daher nicht pauschal angegeben werden. Eigenen Gefrierversuchen zufolge kann je nach Umgebungstemperatur (wenige Minusgrade bis zu -20°C) bei einigermaßen ruhender Luft ein Alpha-Wert zwischen etwa 20 und 40 W/m^2/K angesetzt werden. Dieser erhebliche Unsicherheitsbereich zeigt, dass ohne Weiteres keine exakten Ergebnisse zu erzielen sind. In der Regel wird man zunächst experimentell den für die betreffenden Bedingungen geltenden Alpha-Wert bestimmen (z.B. aus der innerhalb einer bestimmten Zeit gemessenen Dickenzunahme einer Eisschicht) und diesen dann zur Berechnung des weiteren Eiswachstums heranziehen. Bei nicht zu großen Schichtdicken wird der Wärmetransport eher durch den Wärmeübergang (einschl. Strahlung) bestimmt, mit der Dicke der Eisschicht nimmt der Einfluss des Wärmetransports durch das Eis hindurch zu und wird schließlich zur bestimmenden Größe für das Eiswachstum.

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