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Grimm, H.:

Mond-Hochsprung: Wie hoch kann ein Mensch auf dem Mond springen?

http://www.wissenschaft-technik-ethik.de/moonjump.shtml
Erstellt: 20.05.2007; zuletzt aktualisiert am 08.12.2016

Die Frage, wie hoch ein Mensch auf dem Mond zu springen in der Lage ist, insbesondere wenn er einen (schweren) Raumanzug trägt, hat seit einiger Zeit über das rein akademische Interesse hinaus eine zusätzliche Bedeutung erlangt. Seit nämlich von verschiedener Seite behauptet wird, die Mondflüge hätten niemals stattgefunden, gehören die von den Astronauten damals auf dem Mond gezeigten Sprungleistungen zu den Argumenten der "Mondlandungskritiker". Diese behaupten, dass die Astronauten aufgrund der geringen Schwerkraft auf dem Mond viel höher hätten springen müssen als sie es tatsächlich taten. Dabei sind sie mit ihren Vermutungen über mögliche Sprunghöhen nicht gerade zimperlich: 6 m wird zum Besten gegeben (#ArMo) oder gar der phantastische Wert 20 m (#Gei). Eine Erläuterung, wie diese Werte zustandegekommen sind, fehlt in beiden Fällen.

Die Schwerkraft auf der Mondoberfläche beträgt nur etwa 1/6 der Schwerkraft auf der Erdoberfläche. Bedeutet das, dass ein Astronaut auf dem Mond, wie viele Menschen glauben, 6 mal so hoch springen kann wie auf der Erde? Es wäre in der Tat so, wenn der Astronaut auf der Erde und auf dem Mond beim Absprung die gleiche Geschwindigkeit hätte. Dies ist jedoch keineswegs der Fall, wenn er in beiden Fällen seine maximale Sprungkraft zum Einsatz bringt, da auf dem Mond ja eine wesentlich geringere Schwerkraft seiner Beschleunigung entgegenwirkt. Stellen Sie sich vor, Sie tragen einen Rucksack und erhöhen Ihr Gewicht, indem Sie so viele Steine in den Rucksack packen, dass Sie es gerade eben nicht mehr schaffen, vom Boden abzuspringen, Ihre Sprunghöhe auf der Erde ist damit gleich null. Da 6 mal null auch null ergibt, wäre nach der (falschen) "Mal-6-Formel" Ihre Sprunghöhe auf dem Mond mit diesem Rucksack also ebenfalls null. Und da 1/1000000 mal null auch nur null ergibt, kämen Sie auch von einem kleinen Asteroiden bei nur 1/1000000 der Erdschwerkraft keinen Millimeter vom Boden weg. Dies ist jedoch offensichtlich Unsinn.

Wie lässt sich nun tatsächlich die Sprunghöhe auf verschiedenen Himmelskörpern berechnen? Im Folgenden soll ein einfaches physikalisches Modell erläutert werden, mit dessen Hilfe sich die Sprunghöhe eines Menschen unter verschiedenen Bedingungen (Schwerkraft, Raumanzug etc.) hinreichend genau abschätzen lässt, um zu beurteilen, inwieweit die für den Astronauten und Mondfahrer John Young dokumentierte Sprunghöhe auf dem Mond realistischen Erwartungen entspricht.

Ein Sprung stellt sich physikalisch folgendermaßen dar (#UGra;#Pcdl):

Um springenDer Mensch geht in die Knie oder in die Hocke und schafft sich so eine Strecke, innerhalb derer er seinen Körper durch Anspannen der Beinmuskeln nach oben hin beschleunigen kann, die Beschleunigungsstrecke ("Hocktiefe") h_B. Nach durchlaufen dieser Strecke heben die Füße vom Boden ab, sofern die Muskelkraft und damit die Beschleunigung dafür ausreichend war. Beschleunigung und Beschleunigungsstrecke bestimmen die Geschwindigkeit beim "Abheben" und diese wiederum bestimmt zusammen mit der Gravitationsbeschleunigung die Sprunghöhe.

Bei genauer Betrachtung ist die Kraft, die den Körper bei maximaler Anstrengung der Sprungmuskeln nach oben beschleunigt, abhängig von der augenblicklichen Muskelkontraktionsgeschwindigkeit und vom Beugungswinkel des Knies (#UGra). Diese Abhängigkeiten werden durch eine Kennlinie beschrieben, die von Mensch zu Mensch verschieden ist. Für eine genaue Berechnung der Sprunghöhe eines bestimmten Menschen auf Erde, Mond oder einem anderen Himmelskörper muss deshalb seine persönliche Muskelkontraktions-Kennlinie bekannt sein. In den meisten Fällen, insbesondere dann, wenn es sich um ein längst vergangenes Ereignis wie die Apollo-Missionen handelt, steht die benötigte Kennlinie jedoch nicht zur Verfügung und eine genaue Berechnung der Sprunghöhe ist nicht möglich.

Um trotzdem eine brauchbare Abschätzung der Sprunghöhe auf dem Mond und anderen Himmelskörpern vorzunehmen, geht man von der vereinfachten Annahme aus, dass die Kraft, die die Beinmuskeln beim Sprung senkrecht nach oben auf den Körper ausüben, konstant ist, solange die Füße den Boden berühren. Dieser Ansatz liefert zwar nur ungefähr richtige Ergebnisse, hat aber den großen Vorteil, dass die (als konstant angenommene) Sprungkraft aus der Masse eines Menschen, der Tiefe seiner Hockstellung vor dem Sprung und seiner Sprunghöhe auf der Erde berechnet werden kann. Aus dieser Sprungkraft wiederum lässt sich unter Berücksichtigung der Masse des Menschen (plus ggfs. Mondanzug und Ausrüstung) und der Tiefe seiner Hockstellung vor dem Mondsprung die ungefähre Sprunghöhe auf dem Mond berechnen, wie auch in (#Pcdl) beschrieben:

Der Springer geht zunächst aus dem geraden Stand um die Strecke h_B in eine nicht zu niedrige Hocke. Aus dieser Hockstellung heraus beschleunigt er mit einer hier vereinfacht als konstant angenommenen Kraft senkrecht nach oben, und zwar so lange, bis die gestreckte Haltung wieder erreicht ist. Mit der bis dahin erreichten Geschwindigkeit hebt er vom Boden ab, wird von der Schwerkraft wieder abgebremst und fällt nach Erreichen der Sprunghöhe wieder zum Boden zurück. Die Sprunghöhe ist dabei die Strecke, um die sich der Körperschwerpunkt vom Verlust des Bodenkontaktes an ("Absprungspunk") maximal nach oben bewegt. Falls der Körper dabei gestreckt bleibt, wie es bei Youngs Mondsprung der Fall war, entspricht dies dem höchsten beim Sprung erreichten Abstand der Füße vom Boden.

Zur Ableitung der benötigten Gleichungen werden folgende einfache physikalische Gesetze zugrunde gelegt:

1. Wird ein Körper mit der Kraft F über eine Wegstrecke von L (Beschleunigungsweg) beschleunigt, erhält er eine kinetische Energie E_kin:

E_kin = F * L   (1)

Analoges gilt für die Abbremsung eines bewegten Körpers durch eine der Bewegungsrichtung entgegengesetzte Kraft.

2. Die Beschleunigung a, die ein Körper mit der Masse m durch eine auf ihn einwirkende Kraft F erfährt, ist:

a = F / m   (2)

oder, nach F aufgelöst:

F = m * a   (2a)

Unter Zugrundelegung dieser einfachen Beziehungen lässt sich die Sprunghöhe folgendermaßen ableiten:

Zum Beginn des Sprunges befindet sich der Körperschwerpunkt annähernd um den Betrag der Hocktiefe h_B niedriger als am Absprungpunkt, an dem die Füße den Bodenkontakt verlieren. h_B ist demnach der Beschleunigungsweg. Über diese Wegstrecke kann der Körper durch die auf ihn einwirkende Beschleunigungskraft F_B beschleunigt werden. Die Beschleunigungskraft F_B ist dabei gegeben durch die Differenz aus der Sprungkraft F_S und der Gravitationskraft, die in entgegengesetzter Richtung zur Sprungkraft wirkt:

F_B = F_S - F_G   (3)

und die über die Beschleunigungsstrecke h_B generierte kinetische Energie E_kin ist:

E_kin = F_B * h_B   (4)

Nachdem am Absprungpunkt die Füße den Bodenkontakt verloren haben, wirkt nur noch die Gravitationskraft F_G, die den Körper innerhalb der Strecke h_S (Sprunghöhe) wieder bis zum Stillstand (am Scheitelpunkt) abbremst, wobei die kinetische Energie vollständig aufgezehrt wird, und ihn dann wieder in Richtung Boden beschleunigt. Es gilt, analog zu (4):

E_kin = F_G * h_S   (5)

Aus (4) und (5) folgt:

F_B * h_B = F_G * h_S   (6)

und nach h_S aufgelöst:

h_S = h_B * F_B / F_G   (7)

und, unter Berücksichtigung von   (3):

h_S = h_B * ( F_S - F_G ) / F_G   (8).

Nach (2a) gilt:

F_G = m * a_G   (9)

Aus (8) wird mit (9):

h_S = h_B * ( F_S - m * a_G ) / ( m * a_G )   (10)

und durch Kürzen aus (10):

h_S = h_B * ( F_S / ( m * a_G ) - 1 )   (11).

Da h_S nicht unmittelbar bekannt ist, muss sie aus den verfügbaren Angaben (Sprunghöhe auf der Erde) errechnet werden. Hierzu wird (11) nach F_S aufgelöst:

F_S = m * a_G * ( h_S / h_B + 1 )   (12)

(Anmerkung: Bis zum 08.12.2016 wurden die Gleichungen für die Sprunghöhen-Berechnung über die Absprunggeschwindigkeit abgeleitet. Dieser Weg ist unnötig kompliziert und wurde nun durch einen einfacheren ersetzt. Das Ergebnis ist selbstverständlich das gleiche, da beide Ableitungen korrekt sind.)

Im konkreten Fall muss unterschieden werden zwischen den Vorgängen auf der Erde Er und auf dem Mond Mo:

F_S,Er = m_Er * a_G,Er * ( h_S,Er / h_B,Er + 1 )   (13)

und

h_S,Mo = h_B,Mo * ( F_S,Mo / ( m_Mo * a_G,Mo ) - 1 )   (14)

Die einzelnen Parameter sind auf Erde und Mond in aller Regel unterschiedlich: Die Schwerebeschleunigung a_G in jedem Fall, die Masse m dann, wenn auf dem Mond andere Bekleidung beim Sprung getragen wird als auf der Erde (schwerer Raumanzug anstelle von leichter Sportbekleidung), die Hocktiefe h_B wird aufgrund des vergleichsweise unbeweglichen Raumanzugs auf dem Mond deutlich geringer sein, und auch die Sprungkraft F_S wird auf dem Mond geringer sein als auf der Erde, da einerseits die Muskelkraft durch den vorherigen mehrtägigen Aufenthalt in der Schwerelosigkeit erheblich abgenommen hat, und da ein Astronaut auf dem Mond aus Sicherheitsgründen vermutlich mit gemäßigter Kraft springen wird.

Mit diesen Gleichungen ist man in der Lage, die Sprunghöhe abzuschätzen, die John Young auf dem Mond erreichen konnte. Die benötigten Parameter sind im Wesentlichen bekannt. Nach (#Gei) konnte der Astronaut John Young, mit 83 kg (Körper-)Masse, auf der Erde ohne Ausrüstung aus dem Stand 46 cm hoch springen, was absolut plausibel ist. Ein "Mondanzug", inklusive Lebenserhaltungssystem, besaß damals eine Masse von ca. 82 kg (#ScHo;#Sso). Wie tief Young bei seinem Sprung auf der Erde in die Hocke ging, ist dagegen nicht bekannt. Bei eigenen Sprungversuchen wurde eine optimale Hocktiefe auf der Erde, mit leichter Bekleidung, von etwa 30 cm ermittelt. Dieser Wert wurde bei den nachfolgenden Berechnungen angewendet, wobei als Gesamtmasse Youngs 83 kg Körpergewicht plus 1 kg leichte Sportbekleidung, nebst Turnschuhen, angesetzt wurde.

Zunächst wird aus der Sprunghöhe auf der Erde Youngs mittlere "Beinkraft" F_S,Er berechnet:

F_S,Er = (0,46 m / 0,30 m + 1) * 84 kg * 9,81 m/s^2

F_S,Er = 2088 N

Mit der nun bekannten "Beinkraft" kann die Sprunghöhe unter verschiedenen Bedingungen abgeschätzt werden.

Zunächst nehmen wir an, der Astronaut befände sich im leichten Turndress in einer gedachten Mondbasis mit ausreichender Deckenhöhe und sei im Besitz seiner vollen Körperkräfte und Beweglichkeit. Außerdem setzt er seine Sprungkraft voll ein, da er bei einem Sturz nichts zu befürchten hätte:

h_S,Mo = (2088 N / 84 kg / 1,62 m/s^2 - 1) * 0,3 m

h_S,Mo = 4,3 m

Das ist eine beachtliche Höhe, wenn auch weit weniger als die in (#Gei) und (#ArMo) (vermutlich frei erfundenen) Werte 20 m bzw. 6 m. Bedeutet dies aber, dass John Young auf dem Mond tatsächlich hätte weit höher springen (können) müssen als die ca. 40 cm bis höchstens 50 cm, die er dort tatsächlich schaffte?

Um diese Frage einigermaßen realistisch beantworten zu können, müssen wir die zusätzliche Masse des Raumanzuges, die erheblich verringerte Beweglichkeit, sowie die körperliche Verfassung des Astronauten berücksichtigen.

Es ist seit Langem bekannt, dass bereits wenige Tage Aufenthalt in der Schwerelosigkeit zu einem erheblichen Abbau von Muskelmasse und Körperkräften führt, insbesondere in kleinen Raumschiffen wie den Apollo-Kapseln, in denen ein Krafttraining nur begrenzt möglich ist. Unmittelbar nach der Landung konnten einige Apollo-Astronauten deshalb kaum aus eigener Kraft gehen. Man kann deshalb davon ausgehen, dass den Astronauten auf dem Mond nur noch ein Teil ihrer ursprünglichen Sprungkraft zur Verfügung stand. Wegen der Gefahr eines unkontrollierten Sturzes und der ungünstigen Gewichtsverteilung (Rucksack mit Lebenserhaltungssystemen) werden die Astronauten zudem eher vorsichtig als mit aller verfügbaren Kraft abgesprungen sein. Beide Umstände wurden in den nachfolgenden Berechnungen durch entsprechende Faktoren berücksichtigt. Aufgrund der verminderten Beweglichkeit gingen die Astronauten vor dem Absprung auch nicht sehr tief in die Hocke, wie in diversen TV-Dokumenten deutlich erkennbar ist. Aus Szenen in (#ZDF) wurden Hocktiefen im Bereich von ca. 5 bis 15 cm abgeschätzt. Besonders beeindruckend ist dabei ein Sprung aus maximal 10 cm Hocktiefe, bei dem die Füße des Astronauten immerhin gut 30 cm vom Boden abhoben. Bei einem solchen Sprung, in einer nur 5 kg schweren Raumanzug-Attrappe, wäre auf der Erde eine Sprunghöhe von maximal 15 cm zu erwarten gewesen.

Die für den Mond unter verschiedenen Annahmen berechneten Sprunghöhen sind in der nachfolgenden Tabelle wiedergegeben. Dabei ist:

k_Rst: Anteil an der ursprünglichen Sprungkraft, der nach dem Aufenthalt in der Schwerelosigkeit beim Mondspaziergang noch vorhanden ist, in %
k_tat: aufgrund bewusst vorsichtig ausgeführten Sprunges tatsächlich eingesetzter Anteil an der noch vorhandenen Sprungkraft, in %
h_B,Mo: Hocktiefe (= Beschleunigungsweg) beim Mondsprung
h_S,Mo: Sprunghöhe auf dem Mond

F_S,Mo = F_S,Er * k_Rst * k_tat   (15)
k_Rst  k_tat  h_B,Mo  h_S,Mo
(%)     (%)    (cm)   (cm)
============================
 80     80     15      60
 80     80     10      40
 80     80      5      20
----------------------------
 70     80     15      51
 70     80     10      34
 70     80      5      17
----------------------------
 70     70     15      42
 70     70     10      28
 70     70      5      14
============================

Die unter realistischen Annahmen berechneten Sprunghöhen der Astronauten entsprechen demnach einigermaßen den auf Filmdokumenten zu beobachtenden Sprungleistungen.

Auch wenn man berücksichtigt, dass die Rechenwerte aufgrund der nur näherungsweise gültigen Berechnungsgleichung und der z.T. nur ungefähr bekannten Parameter nur grobe Anhaltswerte sein können, ist doch erkennbar, dass die von den Astronauten auf dem Mond geleisteten Sprunghöhen in etwa denen entsprechen, die bei einigermaßen realistischer Berücksichtigung der besonderen Umstände zu erwarten sind und widerlegt damit die Behauptungen zahlreicher Mondlandungskritiker, die, im Rahmen ihrer unsinnigen Argumentationsgebäude (siehe auch www.wissenschaft-technik-ethik.de/moonfake.shtml), mit unrealistischen, z.T. maßlos überzogenen Behauptungen bezüglich der auf dem Mond möglichen Sprungleistungen aufwarten.



Quellen:

(#UGra) mondhochsprung.pdf von www.uni-graz.at (2007)

(#Pcdl) sprungberechnung.pdf von www.mondlandung.pcdl.de (2007)

(#Gei) Gernot L. Geise: Die dunkle Seite von Apollo, Michaels Verlag, Peiting, 2002

(#ArMo) www.artemodus.de/cars/mond.htm (2007)

(#ScHo) science.howstuffworks.com/space-suit3.htm (2007)

(#Sso) ssoar.org/research/space-suits/history/apollo.htm (2007)

(#ZDF) Die Apollo-Missionen, TV-Sendung, ZDF, 4. Mai 1999
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