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Grimm, H.:

Gravitation / Schwerkraft: Grundlagen, Berechnung, Formeln

http://www.wissenschaft-technik-ethik.de/gravitation_berechnung.shtml
zuletzt aktualisiert am 05.12.2016

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1. Einleitung

Über Ursachen und Entstehung des Phänomens, das wir als Schwerkraft oder Gravitation bezeichnen, soll an dieser Stelle nicht weiter eingegangen werden. Hier geht es schlicht um die Berechnung der Schwerkraft, die auf einen massehaltigen Körper wirkt, der sich auf oder über der Oberfläche eines kugelförmigen Himmelskörpers befindet. Für Körper, die sich tief unter der Oberfläche befinden (z.B. in einem sehr tiefen Schacht) gelten die im Folgenden ausgeführten Betrachtungen nicht, da dann die Schwerkräfte des über und des unter ihm liegenden Gesteins in entgegengesetzten Richtungen wirken. (Für irdische Schächte in realistischen Tiefen kann aber in guter Näherung mit der Schwerebeschleunigung an der Oberfläche gerechnet werden.)



2. Grundlagen

Zwei Körper mit den Massen m_1 und m_2 ziehen sich aufgrund der Gravitation, sofern keine zusätzlichen Kräfte (z.B. elektrostatische Kräfte) zwischen ihnen wirken, mit der Kraft F_G an. Diese kann aus den Massen m_1 und m_2, dem Abstand x ihrer Schwerpunkte voneinander und der universellen Gravitationskonstante G berechnet werden:

F_G = m_1 * m_2 * G / x^2 (1)

G = 6,670 * 10^-11 N*m^2/kg^2 (oder m^3/kg/s^2)

Für einen Körper K, der sich auf der Oberfläche eines Himmelskörpers HK befindet, ist x gleich dem Radius r_HK des Himmelskörpers:

F_G = m_K * m_HK * G / r_HK^2 (1a)

Wird der Körper (z.B. ein Kieselstein) seiner Unterstützung beraubt (er wird fallen gelassen), dann wird er durch die Schwerkraft mit einer Beschleunigung ("Schwerebeschleunigung") a_G beschleunigt:

a_G = F_G / m_K

a_G = m_K * m_HK * G / r_HK^2 / m_K

a_G = m_HK * G / r_HK^2 (2),
wobei r_HK durch x = r_HK + h_K zu ersetzen ist, wenn sich der betreffende Körper in der Höhe h_K über der Oberfläche des Himmelskörpers befindet.

a_G ist nach Gleichung (2) nicht von der Masse des Körpers m_K abhängig. Alle Körper fallen deshalb gleich schnell (beschleunigt), sofern sie nicht durch einen unterschiedlichen Luftwiderstand unterschiedlich stark gebremst werden.



3. Beispiele: Erde und Mond

3.1 Schwerebeschleunigung (Gravitationsbeschleunigung) an der Oberfläche

Für die Erde Er gilt:

m_Er = (5,979 +- 0,004) * 10^24 kg
r_Er = (6,3713 +- 0,0004) * 10^6 m
(Durchschnittswert)

Daraus kann die Schwerebeschleunigung an ihrer Oberfläche ("Erdbeschleunigung") zu

a_G,Er = g = m_Er * G / r_Er^2 = 9,82 m/s^2

berechnet werden.

Tatsächlich ist die gemessene Erdbeschleunigung aufgrund der Erdrotation unterschiedlich. Durch die Zentrifugalkraft ist die Erde an den Polen etwas abgeflacht, so dass r_Er hier etwas geringer und am Äquator etwas größer ist. Zudem wirkt, beginnend an den Polen, eine in Richtung Äquator zunehmende Zentrifugalkraft der Erdanziehung entgegen.

a_G,Er,Pole = (9,851 +- 0,010) m/s^2
a_G,Er,mittel = (9,807 +- 0,009) m/s^2
a_G,Er,Aequator = (9,750 +- 0,010) m/s^2

Für den Mond gelten folgende Werte:

m_Mo = (7,354 +- 0,066) * 10^22 kg
r_Mo = (1,738 +- 0,001) * 10^6 m

a_G,Mo,mittel = (1,620 +- 0,015) m/s^2
(Durchschnittswert)




3.2 Schwerebeschleunigung (Gravitationsbeschleunigung) in großer Höhe und Satelliten: Berechnung der Umlaufgeschwindigkeit im Orbit

Satelliten und Raumstationen umkreisen die Erde gewöhnlich in "nur" wenigen 100 km Höhe. Wie groß ist die Schwerebeschleunigung a_G in z.B. h_K = 250 km Höhe?

Hierbei beträgt der Abstand vom Erdmittelpunkt 250 km oder 250.000 m mehr als an der Erdoberfläche:

x = r_Er + h_K = 6.371.300 m + 250.000 m = 6.621.300 m

a_G = m_Er * G / x^2 = 9,10 m/s^2

In 250 km Höhe beträgt die Schwerebeschleunigung also immer noch knapp 93 % der Schwerebeschleunigung an der Erdoberfläche. Es ist also keineswegs so, dass es "da oben" keine Gravitation mehr gäbe. Tatsächlich ist die Vorstellung, ein Körper würde irgendwann das Schwerefeld der Erde verlassen oder sich aus dem Gravitationsfeld der Erde hinausbewegen, irrig, denn das Gravitationsfeld wird zwar mit zunehmendem Abstand rasch schwächer, reicht aber im Prinzip unendlich weit.

Warum fällt dann ein Satellit nicht einfach herunter?

Satelliten befinden sich in einer Umlaufbahn, bei der sich Zentrifugalkraft und Schwerkraft die Waage halten, so dass der Satellit weder ins All hinausgeschleudert wird noch herunterfällt. Im einfachsten Fall ist die Satellitenbahn kreisförmig und die Zentrifugalkraft F_Z kann aus dem Bahnradius r_Ba, der Masse des Satelliten m_Sat und der Geschwindigkeit des Satelliten v_Sat berechnet werden:

F_Z = m_Sat * v_Sat^2 / r_Ba (4),

während die auf den Satelliten wirkende Gravitationskraft F_G aus (1) und (1a) folgt:

F_G = m_Sat * m_Er * G / r_Ba^2

Aus F_Z = F_G
(Kräftegleichgewicht!) folgt:

m_Sat * v_Sat^2 / r_Ba = m_Sat * m_Er * G / r_Ba^2

Durch Herauskürzen erhält man:

v_Sat^2 = m_Er * G / r_Ba

oder

v_Sat = Wurzel( m_Er * G / rBa )

Da

r_Ba = r_Er + h_Ba

ist, folgt für v_Sat in 250 km Höhe:

v_Sat = Wurzel( m_Er * G / (6.371.300 + 250.000)m )

v_Sat = 7761 m/s = 7,761 km/s




3.3 Benötigte Energie um einen Satelliten in eine Umlaufbahn zu bringen

Ein Satellit auf einer annähernd kreisförmigen Bahn in 250 km Höhe bewegt sich also in einer einzigen Sekunde ungefähr 8 km weiter, eine beachtliche Geschwindigkeit. Um einen Satelliten in eine solche Kreisbahn zu befördern, muss er einerseits 250 km weit gegen die Gravitationskraft in die Höhe bewegt und gleichzeitig auf seine Umlaufgeschwindigkeit beschleunigt werden. Für einen 1 t Schweren Satelliten bedeutet das, dass ihm folgende Energiemengen zugeführt werden müssen:

Um 250 km anheben:
ca. 2,4 * 10^9 J = 650 kWh

Auf 7,76 km/s beschleunigen:
ca. 3,0 * 10^10 J = 8370 kWh

Insgesamt:
ca. 3,2 * 10^10 J = 9020 kWh

Zum Vergleich: 9000 kWh ist die Menge elektrischer Energie, die zwei vierköpfige Familien im Durchschnitt in einem Jahr verbrauchen oder die Energiemenge, die bei der Verbrennung von ungefähr 1 t Benzin, Diesel oder Heizöl frei wird.

Tatsächlich muss aber sehr viel mehr Energie aufgewendet werden. Man kann ja den Satelliten nicht einfach mit Elektromotor und Stromkabel versehen und dann auf die Reise schicken, sondern man muss ihn mit einer Rakete hoch"schießen". Das bedeutet: Auch die Rakete und der Treibstoff müssen mit gehoben und beschleunigt werden, und zwar so weit, bis der betreffende Raketenteil (Raketenstufe) bzw. der Treibstoffanteil abgeworfen wird bzw. verbraucht ist. Dadurch vervielfacht sich der Energieaufwand immens und dies ist der Grund dafür, dass für einen Satellitenstart statt 1 t Treibstoff (1 t gilt für Kerosin, nicht für Wasserstoff) (plus knapp 2 t Sauerstoff für die Verbrennung) einige 100 t Treib- und Sauerstoff benötigt werden.



3.4 Elliptische Bahnen und Fluchtgeschwindigkeit

Die meisten Satellitenbahnen sind nicht genau kreisförmig, sondern die Satelliten sind auf eine etwas höhere Geschwindigkeit beschleunigt worden als für eine Kreisbahn erforderlich gewesen wäre. Dadurch entfernen sie sich (Zentrifugalkraft überwiegt) etwas von der Erde, wobei die Energie für die Höhenzunahme auf Kosten ihrer Bewegungsenergie geht, wodurch sie etwas langsamer werden und die Zentrifugalkraft abnimmt. Dadurch gewinnt irgendwann wieder die Schwerkraft die Oberhand und der Satellit verliert wieder an Höhe, wobei er wieder auf seine ursprüngliche Geschwindigkeit beschleunigt und das Spiel geht von Vorne los. Auf diese Weise kommt eine elliptische Umlaufbahn zustande. Die Fluchtgeschwindigkeit ist die Grenzgeschwindigkeit, von der an es der Erde (bzw. einem anderen Himmelskörper) nicht mehr gelingt, den Satelliten so weit abzubremsen, dass die Schwerkraft die Zentrifugalkraft wieder übersteigt. Der betreffende Satellit wäre dann kein Satellit mehr, sondern ein echtes Raumschiff, das seinen Planeten verlässt um z.B. einen anderen Himmelskörper anzusteuern.

Zur Berechnung der Fluchtgeschwindigkeit gehen wir von folgendem Ansatz aus: Die durch Masse m_RF und Fluchtgeschwindigkeit v_RF,fl gegebene Bewegungsenergie E_kin,RF des Raumfahrzeugs RF muss gleich der Differenz der potentiellen Energien Dif_E_pot,RF des Raumfahrzeugs zwischen unendlicher Entfernung und seinem aktuellen Standort sein:

E_kin,RF = Dif_E_pot,RF

1/2 * m_RF * v_RF^2 = Integral[r..unendl.]( m_RF * m_HK * G / r_HK^2 * dr_HK)

Nach dem Auflösen des Integrals folgt:

1/2 * m_RF * v_RF^2 = m_RF * m_HK * G / r_HK

v_RF = Wurzel( 2 * m_HK ) * G / r_HK

Dabei ist es egal, ob sich das Raumfahrzeug mit Fluchtgeschwindigkeit senkrecht vom Himmelskörper fortbewegt oder auf einer spiralförmigen Bahn. Sofern das Raumfahrzeug antriebslos weiterfliegt, nimmt seine Geschwindigkeit mit zunehmendem Abstand vom Himmelskörper in dem Maße ab, dass seine Geschwindigkeit stets gleich der für den aktuellen Abstand gültigen Fluchtgeschwindigkeit ist.

Für die Erde beträgt die Fluchtgeschwindigkeit an der Oberfläche (rein theoretisch, denn dort wird ein Körper ja durch die Luftreibung abgebremst) 11189 m/s, in 300 km Höhe 10934 m/s. In der Praxis wird man eine Raumsonde aber auf eine etwas höhere Geschwindigkeit beschleunigen, damit sie sich rasch genug von der Erde weg auf ihr Ziel zubewegt.




3.5 Mondsatelliten und Mondlandung

Wegen der erheblich geringeren Schwerkraft des Mondes kommen Mondsatelliten übrigens mit weit niedrigeren Bahngeschwindigkeiten aus als Erdsatelliten. Die Apollo-Mutterschiffe z.B. umkreisten den Mond in ca. 15 km Höhe. Unter der Annahme einer kreisförmigen Umlaufbahn folgt daraus eine Umlaufgeschwindigkeit von 1673 m/s. Eine solche Bahn zu erreichen erfordert weit weniger Energie als eine Umlaufbahn um die Erde, so dass es möglich war, mit dem relativ kleinen Rückstartmodul wieder zum Mutterschiff zurückzukehren. Doch selbst hierbei entfiel fast die Hälfte des Startgewichts auf den Treibstoff.

Wer Lust hat, kann sich die entsprechenden Daten für den Mars selbst berechnen aus m_Ma = (6,418 +- 0,024) * 10^23 kg und r_Ma = (3,38 +- 0,02) * 10^6 m.



3.6 Neutraler Punkt zwischen Erde und Mond

Der "neutrale Punkt" zwischen Erde und Mond ist der Punkt auf der geraden Strecke von der Erde zum Mond, an dem sich die Schwerkraft des Mondes und die der Erde gerade ausgleichen, so dass ein Körper, der sich dort befände, weder zum einen noch zum anderen Himmelskörper hingezogen würde. Die Berechnung, wo sich dieser Punkt befindet, ist mit den o.A. Gleichungen (fast) ein Kinderspiel.

Da auch der Mond eine Art Satellit darstellt (wenngleich einen ziemlich großen), bewegt auch er sich in einer Bahn um die Erde herum, und zwar in einer leicht elliptischen. Da die Mondbahn keine exakte Kreisbahn ist, schwankt der Abstand des Mondes von der Erde innerhalb eines gewissen Bereiches, und zwar zwischen etwa 363.000 und 406.000 km. Für die weitere Berechnung wählen wir den mittleren Abstand von 384.403 km.

Und nun die Berechnung: Am "neutralen Punkt" zwischen Erde und Mond ist die Schwerebeschleunigung beider Himmelskörper gleich:

a_G,Er = a_G,Mo

Mit Gleichung (2) wird daraus, wenn x_Er,NP und x_Mo,NP die Abstände von Erde bzw. Mond zum "neutralen Punkt" sind:

m_Er * G / x_Er,NP^2 = m_Mo * G / x_Mo,NP^2

Kürzen und Umformen der Gleichung ergibt:

x_Er,NP^2 / x_Mo,NP^2 = m_Er / m_Mo

oder

x_Er,NP / x_Mo,NP = Wurzel( m_Er / m_Mo )

Mit den Werten für m_Er und m_Mo erhält man:

x_Er,NP / x_Mo,NP = 9,017

Der "neutrale Punkt" ist also gut 9 mal weiter von der Erde entfernt als vom Mond.

Um das Ganze in km auszudrücken, gehen wir vom mittleren Abstand Mond-Erde von 384.403 km aus:

x_Er,NP = 384.403 km * 9,017 / (9,017 + 1) = 346.028 km

x_Mo,NP = 384.403 km * 1,000 / (9,017 + 1) = 38.375 km

x_Er,NP + x_Mo,NP = 384.403 km



4. Berechnung der Schwerebeschleunigung aus der Oberflächen-Gravitation

Ist die Masse des Himmelskörpers HK nicht bekannt. wohl aber seine Schwerebeschleunigung an der Oberfläche a_G,HK,Oberfl, dann lässt sich die Schwerebeschleunigung a_G(h) in der Höhe h folgendermaßen berechnen:

a_G(h) = a_G,HK,Oberfl * r_HK^2 / ( r_HK + h )^2 )



5. Quellen (Zahlen und Daten)

Weast: Handbook of Chemistry and Physics, 64th Ed., CRC Press, 1983-84



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